Статья: Вычисление емкости

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Для расчета емкости можно ввести разность потенциалов между обкладками, решить уравнение Пуассона, найти D на обкладках, а затем плотность поверхностного заряда обкладок σ = ± Dn (Dn - это Dx или Dr у обкладки). При этом принимается, что поле вне конденсатора отсутствует (иначе неверна связь σ и Dx(r)).

Рассмотрим для примера симметричный (ε = ε(r)) цилиндрический конденсатор. В нем

$\varphi(r) = \varphi(R_1) +\frac{\varphi_2- \varphi_1}{\int\limits_{R_1}^{R_2}\tilde{r}^{-1}\varepsilon^ {-1}(\tilde{r}){\rm d}\tilde{r}}\cdot \int\limits_{R_1}^r \varepsilon^{-1}(\tilde{r})\tilde{r}^{-1}{\rm d}\tilde{r}$

(39)

$E_r(r) = -\frac{\varphi_2-\varphi_1}{\int \limits_{R_1}^{R_2}\tilde{r}^{-1}\varepsilon^{-1}(\tilde{r}) {\rm d}\tilde{r}}\cdot \varepsilon^{-1}(r)r^{-1}$

(40)

|σ (R1(2))| = |Dr(R1(2))| = ε0ε(R1(2))|Er(R1(2))|

(41)

Заряд обкладки равен

|Q| = |σ1(2)|· 2π R1(2)L = |Dr(R1(2))|· 2π R1(2)L

(42)

где L - длина конденсатора вдоль оси z. Как видно, R1 или R2 cокращается, после чего можно найти емкость как

$С = \fracQ = \frac{2\pi\varepsilon_0L}{\int\limits_{R_1}^{R_2}\tilde{r}^{-1} \varepsilon^{-1}(\tilde{r}){\rm d}\tilde{r}}$

(43)

Аналогичное рассмотрение для декартового и сферического случаев приводит к выражениям:

$С = \frac{\varepsilon_0S}{\int\limits_{x_1}^{x_2} \varepsilon^{-1}(\tilde{x}){\rm d}\tilde{x}}, С = \frac{4\pi\varepsilon_0}{\int\limits_{R_1}^{R_2}\tilde{r}^{-2} \varepsilon^{-1}(\tilde{r}){\rm d}\tilde{r}}$

(44)

Если имеет место зависимость проницаемости от других координат типа ε(r, z, φ) = f1(r)· f2(z, φ), то приведенные выше формулы верны для малого элемента площади обкладок dzR1dφ, а для нахождения емкости всего конденсатора необходимо произвести интегрирование:

$C = \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^L \frac{{\rm d}C}{{\rm d}z{\rm d}\varphi}\cdot {{\rm d}z{\rm d}\varphi}$

(45)

Краевыми эффектами во всех случаях пренебрегается.

Задача: Найти емкость цилиндрического конденсатора, а также абсолютную величину заряда обкладок при подаче напряжения U. Радиусы обкладок R1 и R2, а длина L. Диэлектрик, заполняющий конденсатор, однороден, его проницаемость равна ε.

Решение: По формулам для емкости цилиндрического конденсатора

$С = \frac{2\pi\varepsilon_0L}{\int\limits_{R_1}^{R_2} \tilde{r}^{-1}\varepsilon^{-1}(\tilde{r}){\rm d}\tilde{r}} = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon L}{\int\limits_{R_1}^{R_2} \tilde{r}^{-1}(\tilde{r}){\rm d}\tilde{r}} = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon L}{\ln(R_2/R_1)}{\rm d}\tilde{r}$

получаем заряд:

$|Q| = C U = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon L U} {\ln(R_2/R_1)}$

Задача. Часть сферического конденсатора (область θ<π/3) заполнена диэлектриком с проницаемостью ε(r) = α/r2, а остальная часть имеет ε(r) = β/r2. Найти емкость, если радиусы обкладок R1 и R2.

Решение: Описанное в задаче изменение проницаемости диэлектрика может быть представлено как $\varepsilon = f_l(r)\cdot f_{\bot}(\theta)$ ( $f_{\bot}$ является при этом кусочной функцией, принимающей значения α и β). Поэтому емкость можно вычислить как:

С	=	$\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{\pi} \frac{{\rm d}C}{{\rm d}\theta{\rm d}\varphi}\cdot \sin\theta{\rm d}\theta{\rm d}\varphi = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{\pi/3}\frac{\varepsilon_0\cdot {\sin\theta{\rm d}\theta{\rm d}\varphi}} {\int\limits_{R_1}^{R_2}\tilde{r}^{-2} (\alpha \tilde{r}^{-2})^{-1}{\rm d}\tilde{r}} +$
	+	$\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{\pi/3}^{\pi} \frac{\varepsilon_0\cdot{\sin\theta{\rm d}\theta{\rm d}\varphi}} {\int\limits_{R_1}^{R_2}\tilde{r}^{-2}(\beta \tilde{r}^{-2})^{-1} {\rm d}\tilde{r}} = \frac{\pi\varepsilon_0\alpha}{R_2-R_1} + \frac{3\pi\varepsilon_0\beta}{R_2-R_1} = \frac{\pi\varepsilon_0\cdot(\alpha+3\beta)}{R_2-R_1}$

Задача. В диэлектрике проницаемости ε на расстоянии l от бесконечной проводящей плоскости расположен небольшой металлический шарик радиуса a<< l. Найти емкость системы.

Решение: Для нахождения емкости необходимо, задавшись зарядом шарика q, найти разность потенциалов между шариком и плоскостью.

Так как шарик очень маленький (a<< l), заряд на его поверхности можно считать равномерно распределенным (искажения его поля, вносимые плоскостью, заметны лишь на большом расстоянии от шарика).

Разность потенциалов можно найти как

$U = \int\vec{E}{\rm d}\vec{r}$

где интеграл берется по любой траектории, соединяющей шарик и плоскость. Разумеется, удобнее взять простейшую траекторию: перпендикуляр, опущенный из шарика на плоскость. Введем ось x по этому перпендикуляру так, что центр шарика имеет координату 0, а плоскость x = l.

Для нахождения поля системы применяется метод изображений. На оси x получается:

$E_x(x) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\cdot \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(2l-x)^2}\right)$

Теперь записываем разность потенциалов:

$U = \int\limits_a^lE_x(x){\rm d}x = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0\varepsilon}\left.\left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{2l-x} \right)\right|_a^l \approx \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon a}$

Последнее приближенное равенство получено с учетом условия a<< l. Теперь емкость

$C = \frac{q}{U} = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon a$

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r