Реферат: Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр

Реферат: Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 5 сентября 2000 г.

Тема: Введение

Условные обозначения:

: - так, что def – по определению

 – включает ’’’ – [dnf(x)]/dxn=(d/dx)([dn-1f(x)]/dxn)

 - следует, выполняется

 - тогда и только тогда

 - любой

 - существует

] – пусть

! – единственный

[x] – целая часть

~ - эквивалентно

о - малое

Все R представляют десятичной дробью.

Все Q представляют конечной дробью, либо периодичной дробью.

Все иррациональные числа представляют бесконечной десятичной дробью ( не периодичной).

Рассмотрим числовую ось. Числовая ось – направленная прямая с отмеченной точкой и отмеченным масштабом.

x

0 – отвечает за ноль.

Отрезок [0;1] отвечает за единицу

Единица за единицу.

Каждой точки х на числовой прямой отвечает некоторое действительное число. Если длинны отрезков [0;x] из заданного масштаба соизмеримы, тогда числу х отвечает рациональное число. Если не соизмеримы, то иррациональны.

Каждому R отвечает точка на числовой прямой и наоборот, каждой точке отвечает R.

Основные числовые множества.

x

Отрезок: [/////////] x

a b

Обозначается [a;b] ab

Частный случай отрезка точка

Или axb – в виде неравенства.

х

Интервал: (/////////) x – множество точек на числовой прямой.

a b

Обозначается (a;b) или в виде неравенства a

x

Полуинтервал: (/////////] x

a b

x

[/////////) x

a b

Обозначается: [a;b) axb

(a;b] ab

Всё это числовые промежутки.

Замечание: один из концов ( а или b) может быть символом .

x

///////////////] x (-;b] или -b

b

x

///////////////) x (-;b) или -

b

Вся числовая прямая – R=(-;+)

Окрестности.

Определение: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству

a-ε x-a  (////////) x  Оε(а)

ε>0 а-ε а а+ε

Оε(а)={xR:x-a

Проколотая ε окрестность – Оε(а) это множество таких чисел включающих R, и отстаёт от точки на ε и не принадлежит а.

Оε(а)={xR:0x-a

(////////) x

а-ε а а+ε

Правая ε поло окрестность точки а: О+ε(а)={xR:ax

 ///////) x

a a+ε

Проколотая правая ε поло окрестность точки а: Оε(а)={xR:aа.

Левая ε поло окрестность точки а: O-ε(a)={xR:a-εa}

(//////// x

a-ε a

Проколотая, левая ε поло окрестность точки а: О-ε(а)={xR:a-εа.

Модуль и основные неравенства.

x; x>0

х= 0; x=0

-x; x

|x| -hh x>h

h>0 x

1.  а,b  R: |ab|a|+|b|

2.  а,b  R: |a-b|||a|-|b||

Можно рассматривать окрестности бесконечности:

Оε(+)={xR:x>ε} (////////// x

ε>0 ε

Оε(-)={xR:x x

ε>0 -ε 0

Оε()={xR:x>ε} \\\\\\)  (////// x

x>ε;x

Функция. Монотонность. Ограниченность.

х – называется независимой переменной.

у – зависимой.

Функцию можно задавать равенством (у=х2)

Таблицей

Графиком, то есть множеством точек с координатами (x,f(x)) на плоскости:

Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение D ( ]xD)

Пусть Х подмножество в области определения в f(x).

Функция у=f(x) называется:

1. Возрастающая на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х12f(x1)2)

1. Убывающий на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х12f(x1)>f(x2)

3) Не убывающий на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х12f(x1)f(x2)

1. Не возрастающая на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х12f(x1)f(x2)

Определение:

Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется:

1. Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется xR

2. Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется Ах

3. Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется АхВ, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется хС

Лекция №2

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 12 сентября 2000 г.

Тема: Функции

Определение (сложная функция):

Пусть задано D,E,G,C,R

На D: y=f(x) с областью значения E

На E: z=g(y) с областью значения G

Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g,f.

Пример: Пример

z=sin ex w=arctgcos exx-ln x

y=ex=f(x)

z=sin y=g(y)

D=R

E=R+

G=[-1;1]

Определение (обратной функции):

Пусть существует D,E,C,R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:

y=f(g(y)),  yE y=f(g(y)), для любого уЕ



x=g(f(x)),  xD x=g(f(x)), для любого хD

Примеры:

1)y=x3  x=3y

D=R

E=R

2)y=x2  x=y

D=R+ {0}=[0;+)

E=[0;+)

D=R- {0}=(-;0]

E=[0;) x=-y

3)y=sinx

D=[-/2;/2]

E=[-1;1]

x=arcsiny

y[-1;1]; x[-/2;/2]

Пусть y=f(x)

D=[a;b]

E=[A;B]

Определение: y=f(x), nN

a1=f(1)

a2=f(2)

an=f(n)

{an} – множество значений силовой последовательности nN или аn

{аn}={1,1/2,1/3,…,1/n,…}

аn=1/n

{аn}={sin1;sin2;sinn}

аn=sinn

аn=(-1)n/n

{(-1)n}={-1;1;-1;1;-1;1…}

Ограниченные последовательности.

1. Ограниченная сверху, то есть существует В так что аnВ, для любого nN

2. Ограниченная снизу, то есть существует А так что Аbn, для любого nN

3. Ограниченная, то есть существует А,В так что АаnВ, для любого nN  существует С>0 так что аnС, для любого nN.

Монотонные последовательности

1. возрастающая ann+1,  nN

2. убывающая an>an+1,  nN

3. не возрастающая anan+1,  nN

4. не убывающая anan+1,  nN

Пределы последовательности.

Определение: числа а , называется пределом числовой последовательности аn, если для любого сколь угодно малого числа ε>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел nN выполняется модуль разности an-a  ε>0  N :  nN an-a

Начиная с этого номера N все числа этой последовательности попадают в ε окрестность числа а. Другими словами начиная с номера N вне интервала а-ε;а+ε может находиться не более конечного числа членов последовательности.

Lim an=0

n

Примеры: Доказать, что ln(-1)2/n=0

Зададим любое ε>0, хотим чтобы (-1)n-0 n>1/ε

N=[1/ε]+1

ε=0.01

N=[1/0.01]+1=101

|an|101

* * *

an=1-1/n2

lim(1-1/n2)=1

n+

Для любого ε>0 (1-1/n2)-1

-1/n2 1/n2 n2>1/ε  n>1/ε

N=[1/ε]+1

Лекция №3

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 13 сентября 2000 г.

Тема: Последовательности

Бесконечно малые последовательности

Последовательность аn называется бесконечно малой , это означает, что предел этой последовательности после равен 0.

an – бесконечно малая  lim an=0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется

n+

an

Важные примеры бесконечно малой последовательности:

1)n=1/n Докажем, что для любого ε>0 1/n 1/n n>1/ε N[1/ε]+1

Докажем, что lim1/n=0

n+

2) n= sin(1/n). Докажем, что для любого ε>0 sin(1/n)sin(1/n)>0, следовательно sin(1/n)

Следовательно 1/n n>1/arcsinε N=[1/arcsinε]+1. Докажем, что lim sin1/n=0

n+

3) n=ln(1+1/n)

n0; 1/n; 1+1/n1

lim ln(1+1/n)=0

n+

Докажем ln(1+1/n) ln(1+1/n) 1+1/nε

1/nε-1

n>1/eε-1 N=[1/eε-1]+1

1. n=1-cos(1/n)

lim(1-cos(1/n))=0

n+

Докажем ε>0 1-cos(1/n)

1/n первой четверти cos первой четверти положительный 0 1-cos(1/n)

cos(1/n)>1-ε (считаем, что 0

1/n n>1/arcos(1-ε)

N=[1/arcos(1-ε)]+1

Свойства бесконечно малой последовательности.

Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

nnбесконечно малое  n+n – бесконечно малое.

Доказательство.

Дано:

n- бесконечно малое  ε>0  N1:n>N1  n

n- бесконечно малое  ε>0  N2:n>N2  n

Положим N=max{N1,N2}, тогда для любого n>N  одновременно выполняется оба неравенства:

nn+nn+n1n>N

n

Зададим ε1>0, положим ε=ε1/2. Тогда для любого ε1>0 N=maxN1N2 :  n>N  n+n1  lim(n+n)=0, то

n

есть n+n – бесконечно малое.

Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

n,n – бесконечно малое  nn – бесконечно малое.

Докозательство:

Зададим ε1>0, положим ε=ε1, так как n и n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N1:  n>N  n

N2:  n>N2  n

Возьмем N=max {N1;N2}, тогда n>N = n

n

nn=nn2=ε1

 ε1>0 N:n>N nn2=ε1

lim nn=0  nn – бесконечно малое, что и требовалось доказать.

n

Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность

аn – ограниченная последовательность

n –бесконечно малая последовательность  ann – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Так как аn – ограниченная  С>0: nN  anC

Зададим ε1>0; положим ε=ε1/C; так как n – бесконечно малая, то ε>0 N:n>N n ann=annε1/C=ε1

ε1>0 N: n>N  ann=Cε=ε1  lim ann=0 ann – бесконечно малое

n

Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const  произведение постоянно.

Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.

lim an=a  an=a+n

n+

Последовательность an имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде an=a+n

где n – бесконечно малая.

Доказательство:

lim an   ε>0 N:n>N  an-an-a=n  nn>N, то есть n - бесконечно малая

n+

an=a+n что и требовалось доказать

Доказательство (обратное): пусть an=a+n, n – бесконечно малая, то есть n=an-a  ε>0 N: n>N 

n=an-an-а

n+

Теоремы о пределах числовых последовательностей.

1. Теорема о пределе суммы:

Пусть lim an=a lim bn=b  lim an+n=a+b

n+ n+ n+

Докозательство: an=a+n bn=b+n Сложим an+bn=a+b+n+n=a+b+n lim an+bn=a+b

n+

2) Теорема о произведение пределов:

Пусть lim an=a lim bn=b  lim anbn=ab

n+ n+ n+

Доказательство: an=a+n bn=b+n  anbn=(a+n)(b+n) anbn=ab+an+bn+nn=ab+n lim anbn=ab что и

n+

требовалось доказать.

1. Теорема о пределе частного

Пусть lim an=a lim bn=b b0 lim an/bn=a/b

n+ n+ n+

Доказательство: an=a+n bn=b+n так как b0, то N1: n>N1bn0

bn

0 (////////b/////////) x

an/bn=an/bn-a/b+a/b=a/b+(ban-abn)/bbn=a/b+[b(a+n)-a(b+n)]/b(b+n)=a/b+n/b(1+bn/b)

lim an/bn=a/b

n+

Лекция №4

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: понедельник, 19 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности .

аn=(-1)n – не имеет предел.

{bn}={1,1…}

{an}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.

Бесконечно большие последовательности.

an=2n

N:n>N  an>ε

bn=(-1)n2n

N:n>N  bn>ε

cn=-2n

N:n>N cn

Определение (бесконечно большие последовательности)

1) lim an=+, если ε>0N:n>N  an>ε где ε- сколь угодно малое.

n

2)lim an=-, если ε>0 N:n>N  an

n+

3) lim an=  ε>0 N:n>N  an>ε

n+

Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.

Доказательство:

an=2n

Берём ε>0; хотим 2n>ε

n>log2ε

N=[log2ε]+1

Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки  и , а знак неравенства на дополнительный.

Пример:

Утверждение lim an=a aR ε>0 NN:n>N  an-a

n

Обратное утверждение aR ε>0 NN: n>N  an-a

Всякая бесконечно большая не ограниченная. Обратное утверждение неверно.

bn{2;0;2n;0;23;0….}

Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)

Пусть lim an=a  an - ограниченная

n+

Доказательство:

Дано:

ε>0N:n>N  an-a

Раз ε>0 возьмем ε=1  N:n>N  an-a

a-1nn>N

Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности.

N1=max{a1;a2;…an;1+a;a-1}

anc, n>N

Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Если lim an=a , то а- единственное.

n+

Доказательство:(от противного)

Предположим, что  b: lim an=b и ba ε=b-a/2>0 для определенности пусть b>a N1:n>N1 an-a

n+

N2:n>N2  an-b1;N2}, тогда оба неравенства выполняются одновременно 

 -(b-a)/2n-a

-(b-a)/2n-b

an-a

-

an-b>-(b-a)/2

b-a

0 предположение, что b>a неверно. Аналогично доказывается, что b

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Теорема:

1)an- бесконечно большая  1/an – бесконечно малая

2)т – бесконечно малая, n0 (n>N0) 1/n – бесконечно большая

Доказательство:

1)an- бесконечно большая  lim an=  для достаточно больших номеров n an0. Зададим любое сколько

n+

угодно малое ε>0, положим ε=1/ε>0

Для ε N1:n>N1 an>ε, то есть an>1/ε N=max{N1;N0}

Тогда n>N  1/ann=0, то есть 1/an – бесконечно малое

n+

2)n – бесконечно малое lim n=0

n+

Дано: n0, n>N0 зададим ε>0 положим ε=1/ε>0

N1:n>N1 n

N=max{N0;N1}: n>N  1/n=, то есть 1/n – бесконечно большая.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Теорема Вейрштрасса:

Пусть an- ограниченная и моннатонна. Тогда  lim an=а

n+

Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.

Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 25 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности

Теорема:

lim(1-1/n)n=1/e e=2,7183

n+

0an=1-1/n1 nN, то есть an=(1-1/n)n- ограниченна.

n+1an=n+1(1-1/n)n1=n+1(1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)11/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1

n+1(1-1/n)n

(1-1/n)nn+1

ann+1 nN  последовательность возрастает и ограниченная.

(1-1/n)n – имеет конечный предел

lim(1-1/n)n=1/e

n+

Следствие

lim(1+1/n)n=e

n+

lim1/(1+1/n)n=(n/n+1)n=[1-1/(n+1)]n+1/ [1-1/(n+1)]=(1/e)/1=1/e

n+

lim[1/(1+1/n)n]=1/e

n+

lim(1+1/n)n=e

n+

Определение под последовательности

Пусть дана an зададим произвольный набор натуральных чисел таких, что

n123k

an1,an2,…,ank,…

Полученная последовательность называется под последовательностью и сходной последовательности.

an=(-1)n

{an}={-1;1;-1;1….}

n1=2;n2=4,….,nk=2k

{ank}={1,1,1,1…}

Теорема

Пусть последовательность an сходится, тогда последовательности

 lim an=a {ank} – гас и lim

n+

lim ank=0

n+

Доказательство так как an – сходиться, то ε>0 N: n>N  an-a

ank; nk>N то есть ank-a

Пример

an=(-1)n – не имеет предела

{a2n}={1,…,1,…,}

{a2n-1}={-1,….,-1,…}

имели бы тот же самый предел.

Предел функции.

Определение

Пусть y=f(x) определена в O(x0). Мы говорим, что функция f(x) имеет предел в при хх0 если ε>0  >0

x:0x-x0 f(x)-b

lim f(x)=b

xx

Через окрестности это определение записывается следующим образом

ε>0 >0 x0(x0)f(x)0ε(b)

Если lim f(x)=0, то f(x) наз бесконечно малой при xx0.

xx

Замечание. Необходимо указать в каком именно процессе f(x) бесконечно малое. Надо указать к какому числу  а.

f(x)=x-1

1.x1 lim(x-1)=0, то есть y=x-1 бесконечно малое при x1

x1

2.x2 lim(x-1)=1, то есть y=x-1 не является бесконечно малой при x2

x1

Пример

f(x)=2x+1 x1

Докажем lim(2x+1)=3

x1

ε>0 >0 x:0x-1 (2x+1)-3

(2x+1)-3

|x-1

x1

Положим =ε/2

Теорема о бесконечно малом

1)(x);(x) – бесконечно малое xx0  (x)+(x) – бесконечно малое при xx0

2)(x);(x) – бесконечно малое при xx0

3)Если f(x) – ограниченна в O(x0) и (x) – бесконечно малое при xx0, то f(x);(x) – бесконечно малое при xx0

Доказательство (3)

Так как f(x) – ограниченна в O(x0), то  С>0: xO(x0)|f(x)C;

Так как (x) – бесконечно малое при хх0, то ε>0 >0 x: 0x-x0  (x)ε1>0

Положим ε=ε1/c

>0 x: 0x-x0| f(x)(x)=f(x)a(x)1 lim f(x)(x)=0, то есть f(x)a(x) – бесконечно малое при xx0

xx

Лекция №6

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 26 сентября 2000 г.

Тема: Замечательные пределы

Теорема

f(x)>g(x) в O(x0) и  lim (f(x))=b и  lim (g(x))=c. Тогда bc

xx xx

Доказательство:

Рассмотрим функцию (x)=f(x)-g(x)>0 в O(x0)  lim ((x))= lim (f(x)) - lim (g(x))= b-c и в силу предыдущей

xx xx xx

теоремы b-c0, то есть b0 что и требовалось доказать.

Теорема

f(x)(x)g(x)  xO(x0) и  lim (f(x))=b и  lim (g (x))=b.  lim ( (x))=b

xx xx xx

Доказательство:

f(x)=b+(x)

g(x)=b+(x)

где (x) и (x) – бесконечно малые при хх0

b+(x)(x)b+(x)

Так как (х) и (х) – бесконечно малые то ε>0 1>0:  xO1(x0)  (x)

2>0:  xO2(x0)  (x)

Положим =min{1;2}

Тогда  xO(x0)  (x)

(x)

-ε(x)

-ε(x)

b-ε(x)(x)b+(x)

-ε(x)-b

(x)-b xO(x0)

 ε>0  =min{1;2}  (x)-bxO(x0) то есть lim ( (x))=b

xx

Первый замечательные пределы.

Терема lim (sin(x)/x)=1

x0

Доказательство:

S∆OMN=1/2 sin(x)

SсекOMN=1/2(x)

S∆OKN=1/2 tg(x)

S∆OMNсекOMN< S∆OKN

1/2sin(x)

sin(x)

1

lim (1-cos(1/n))=0

n+

lim (1-cos(x))=0  lim (cos(x))=1

x0 x0

lim (x/sin(x))=0

x0

x>0

lim (x/sin(x))=1

x0

lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать

x0 x0

Определение бесконечного предела и пределов при х+.

lim (f (x))=+  ε>0 >0:  xO(x0)f(x)Oε(+)

xx

(x): 0x-x0

(////////// x

ε

lim (f (x))=-  ε>0 >0:  xO(x0)f(x)Oε(-)

xx

(x): 0x-x0

lim (f (x))=  ε>0 >0:  xO(x0)f(x)Oε()

xx

f(x)>ε

lim (f (x))=b  ε>0 ∆>0:  xO∆(+)f(x)Oε(b)

x+

 x: x>∆ f(x)-b 

lim (f (x))=b  ε>0 ∆>0:  xO∆(-)f(x)Oε(b)

x-

 x: xf(x)-b 

Односторонние пределы.

Определение

f(x) определена в O+(x0)

lim (f (x))=b  ε>0 >0:  xO+(x0)f(x)Oε(b) x00+

xx+0

Определение

f(x) определена в O-(x0)

lim (f (x))=b  ε>0 >0:  xO-(x0)f(x)Oε(b) x0-0

xx-0

Теорема Пусть f(x) определена в O(x0) Для того чтобы существо-

вал предел  lim(f(x))=b   lim(f(x))=lim(f(x))=b

xx xx+0 xx-0

Пусть  lim(f(x))=b, то есть ε>0 >0:  xO(x0)f(x)Oε(b) f(x)O(b) для  xO+(x0) и для  xO-

xx

 xO-(x0) lim(f(x));lim(f(x))=b что и требовалось доказать.

xx+0 xx-0

Второй замечательный предел.

Теорема lim(1+1/x)x=e

x+

Доказательство: Пусть n – целая часть х – n=[x] nx

[1+1/(n+1)]n(1+1/x)x(1+1/n)n+1

Если x+, то n+

[1+1/(n+1)]n+11/[1+1/(n+1)](1+1/x)x(1+1/n)n(1+1/n)  lim(1+1/x)x=e

x+

Лекция №7

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 3 октября 2000 г.

Тема: Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.

Определение.

Пусть (x) и (x) – бесконечно малые при хх0 ()

1. (x) ~ (x) при хх0 () если lim (x)/(x)=1 xx0 ()

2. (x) и (x) одинакового порядка при хх0 () если lim (x)/(x)=с0 xx0 ()

3. (x) бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x) при хх0 () если lim (x)/(x)=0 xx0 ()

Определение.

Пусть f(x) и g(x) – бесконечно большое при хх0 ()

1) f(x) ~ g(x) при хх0 () если lim f(x)/g(x)=1 xx0 ()

2)f (x) и g (x) бесконечно большие одинакового порядка роста, если при хх0 () если limf(x)/g(x)=с xx0 () 

В частности, если с=1, то они эквивалентны

1. f (x) бесконечно большое более низкого порядка роста чем g (x) или иначе g(x) бесконечно большое более высокого порядка роста чем g(x) при хх0 () если lim f (x)/g (x)=0 xx0 ()

Примеры:

1. sin(x) – бесконечно малое

x при хх0 – бесконечно малое

Сравним их lim sin(x)/x=1  sin(x)~x

x0

при х0

1. 1n(1+x) – бесконечно малое

х при х0 – бесконечно малое

Сравним их lim ln(1+x)/x= lim ln(1+x)1/x =1 

x0 x0

ln(1+x) ~ x, при х0

1. x2 – бесконечно большие

2х2+1, при х+ – бесконечно большие

Сравним lim x2/(2x2+1) = lim x2/x2(2+1/x2)=1/2

x+ x+

то есть функция является бесконечно большой и

одинакового порядка. Замечание: если одну из

функций одинакового порядка роста домножить на

одинаковую const, то они станут эквивалентны.

Определение:

1. пусть (х)=о(х) – бесконечно малое при хх0(). То мы говорим, что (х) и (х) при хх0 (), если (х)=(х)(х), бесконечно малое при хх0 (). Другими словами - (х) – бесконечно малое более высокого порядка, чем (х) така как (х)/(х)=(х) – бесконечно малое, то есть lim (x)/(x)=0 x0 ()

2. пусть f(х)=оg(х) – бесконечно большое при хх0(). То мы говорим, что f(х) и g (х) при хх0 (), если f (х)=(х)g (х). Другими словами - f (х) – бесконечно большое более низкого порядка, чем g(х) так как f(х)/g (х)=(х) – бесконечно малое, то есть lim f (x)/g (x)=0 x0 ()

Шкала бесконечности.

Степенные бесконечности.

xn=o(xm), 0+. Из двух степенных бесконечностей сильнее та, у которой показатель степени больше.

Докажем:

xn=xm(xn/xm)=xm(1/x(m-n))=xm(x) m-n>0 xm(x)o(xm)

Показательные бесконечности.

ах=о(bх), 1+. Из двух показательных бесконечностей сильнее та, у которой основание больше.

Докажам

ax=ax(bx/bx)=ax(a/b)x=bx(xo(bx) (0

Логарифмическая бесконечность

(a)=f(a)-c=A-C1  x0(a,b):(x0), то естьf(x0)-C=0 f(x0)=c

(b)=f(b)-c=B-C>0

Замечание: Условие непрерывности нельзя отбросить

[c,d][A,B]

[c,d)E(f)

Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»

Пусть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.

Производная функции. ∆Х

Пусть y=f(x) определена в O(x0)

∆x=x-x0 – называется приращением аргумента в т х0 Х

Х Х

Разность значений функций.

∆y=∆f(x0)=f(x)-f(x0)=f(x0+∆x)-f(x0) – называется приращением функции в точки х0. Через эти обозначения можно определить непрерывность функций:

f(x) – неопределенна в точки х0, если она определена в O(x0) и lim ∆y=0

∆ x0

lim[f(x)-f(x0)]=lim[f(x)-f(x0)]0 lim[f(x)]=f(x0)]

x-x0 xx xx

Определение непрерывной функции в точки приращения:

f(x) – неопределенна в точки х0, если она определена в O(x0) и lim ∆y=0

∆ x0

Определение: (производной функции)

Пусть y=f(x) определена в О(х0) и  lim[∆y/∆x], тогда этот предел называется производной функции f(x) в

∆х0

точке х0.

Обозначения:

f’(x0), y’(x0), dy/dx, df(x0)/dx=df(x)/d(x)

То есть f’(x0) по определению = lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)lim∆y/∆xdy/dx

∆x0 ∆x0

Физический смысл производной.

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки:

S

x

x0 x

t0 t

s(t)x(t); ∆s=∆x(t)=x(t)-x(t0)

∆s/∆t=[x(t)-x(t0)]/[t-t0]=vcp. Если ∆t0

тогда vcpvмнг

lim ∆s/∆t=lim[x(t)-x(t0)]/[t-t0]=vмнг

∆t0 tt

Геометрический смысл производной.

y’(x0)=lim∆y/∆x – производная функции у(х) и в точке х0.

∆х0

∆y=y(x0+∆x)-y(x0)

y’(x0)=tgкас где кас – угол наклона в точке (х0;y(x0)) к оси

Основные теоремы о производной.

Теорема: Пусть  f’(x) и g’(x), тогда  [f(x)+g(x)]’= f’(x)+g’(x)

Доказательство: следует непосредственно из определения производной и свойств предела суммы.

Теорема: (связи между непрерывностью функции и существование производной)

Пусть  f’(x) функция f(x) – непрерывна.

Доказательство: Пусть f(x) определена в О(х0) и lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f’(x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f(x0)+(x-x0)2

∆xx

[f(x)-f(x0)]=f’(x0)(x-x0)+(x-x0)(x-x0) при хх0

lin[f(x)-f(x0)]=limf’(x0)(x-x0)+lim(x-x0)(x-x0)=0+0=0linf(x)=f(x0) то есть f(x) непрерывна в точки х0

xx xx xx xx

Замечание: обратное утверждение неверно, из-за непрерывности функции в точке х0 не следует существование функции в этой точки.

y=х

Непрерывна в точки х0=0

limx, x0

x+0

lim|x|= =0

lim(-x), x

x-0

y(0)=0

limy(x)=limy(x)=y(0)=0   limy(x)=y(0)=0  функция непрерывна

x+0 x-0 x0

lim∆y/∆x-не существует, действительно х+0y(x)=x

x0

lim[y(x)-y(0)]/x=lim(x-0)/x=1

x+0 x+0

x-0y(x)=-x

lim[y(0)-y(x)]/x=lim(0-x)/x=-1 то есть lim∆y/∆x – не существует

x-0 x-0 х0

Теорема: Пусть  u’(x) и v’(x), тогда (uv)’=u’v+v’u

Доказательство: Зададим приращение ∆х в точки х. Рассмотрим: lim[∆(uv)]/∆x=

∆x0

lim[1/∆x][u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x)]=lim[1/∆x][ u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x+∆x)+u(x)v(x+∆x)-u(x)v(x)=

∆x0 ∆x0

lim[(v(x+∆x))(u(x+∆x)-u(x))]/∆x+lim[(u(x))(v(x+∆x)-v(x))]/∆x=v(x)u’(x)+u(x)v’(x)

∆x0 ∆x0

Теорема: (о произведение частного)

Пусть  u’(x) и v’(x), v’(x)0 в О(х), тогда (u/v)’=[u’v-v’u]/v2

Доказательство: (u/v)’=[u(1/v)]’=[u’(1/v)]+[(1/v)’u]. Функция u(x) и v(x) –непрерывны в точки х0.

lim[∆(1/v)/∆x]=lim[1/∆x][1/(v(x+∆x))-1/v(x)]=lim[[v(x)-v(x-∆x)]/[∆xv(x)x(x+∆x)]]-[v’(x)/v2(x)]

∆x0 ∆x0 ∆x0

(u/v)’=u’(1/v)-(uv)’/v2=[u’v-uv’]/v2 что и требовалось доказать

Таблица производных

y=sinx

(sinx)’=lim[sin(x+∆x)-sinx]/∆x=lim[2sin(∆x/2)cos((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[2(∆x/2)cos(x+(∆x/2))]/∆x=cosx

∆x0 ∆x0

(sinx)’=cosx

где sin(x)

(sin(x))’=cos(x)

y=cos(x)

(cos(x))’=lim[cos(x+∆x)-cos(x)]/∆x=lim[-2sin(∆x/2)sin((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[-2(∆x/2)sin(x+(∆x/2))]/∆x=-sinx

∆x0 ∆x0 ∆x0

(cos(x))’=-sinx

где cosx

(cos(x))’=-sin(x)

y=tg(x)

(tg(x))’=(sin(x)/cos(x))’=[(sin(x))’cos(x)-(cos(x))’sin(x)]/cos2x=[cos2x+sin2x]/cos2x=1/cos2x

(tg(x))’=1/cos2x

где tg(x)

(tg(x))’=1/cos2x

Лекция №11

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 24 октября 2000 г.

Тема: «Производные, дифференциал»

y=xn

y’(x)=lim[(x+∆x)n-xn]/∆x=1=lim[xn(1+(∆x/x))-1]/∆x=/∆x/x0,∆x0\=lim[xn(∆x/x)n]/∆x=nxn-1

∆x0 ∆x0 ∆x0

(xn)’=nxn-1

y=x^3

y’=3x^2

Рассмотрим когда х=0 y’(0)=lim(∆x)n/∆x=lim(∆x)n-1=/n>1\=0 если n=1/0,n>1;1,n=1\

∆x0 ∆x0

Дифференциал функции.

Определение: Пусть y=f(x) определена в некоторой О(х0) – она называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение в этой точки представимо в виде:

∆y=∆f(x0)=A∆x+(∆x)∆x)1

(0)=0 A=const

Определение: линейная ∆х часть приращение дифференцируемой функции называется дифференциалом функции в точке х0:

dy=df(x0)A∆x

Теорема: Если функция дифференцируема в точке х0 то A=f’(x0), то она имеет производную в этой точке, то A=f’(x0); наоборот если функция имеет производную в этой точке, то она дифференцируема в этой точке – называется дифференциалом.

Доказательство: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х0, то есть в некоторой О(х0) справедливо равенство ∆f(x0)=A∆x+(∆x)∆x1; (0)=0. Поделим обе части этого равенства на ∆х и приведём к пределу при ∆х0:

lim(∆f(x0))/∆x=lim(A+(x))=A. Этот предел существует, меньше , тогда по определению этот предел есть

∆x0 ∆x0

производная.

Доказательство: (в обратную сторону) Пусть в точке х0  f’(x0)() – это означает, что f(x) определена в некоторой О(х0) и  lim(∆f(x0))/∆x=f’(x0) по определению предела следует, что в некоторой О(х0)

∆x0

(∆f(x0))/∆x=(∆х)+f’(x0) при ∆х0  ∆f(x0)=f’(x0)+(∆x)∆x, так как lim(∆x)=0, то в точке х0 y (∆x) может

∆х0

быть лишь устранимым разрывом . Устраним его, определим и доопределим:

(0)=0, тогда ∆f(x0)=f’(x0)∆x+(∆x)∆x  A=f’(x0) из установленного соответствия получим выражения для дифференцируемой функции df(x0)=f’(x0)∆x

Следствие: по определению полагают дифференциал независимой переменной равной её приращению

dx=∆x (х - независимая переменная)

df(x)=f’(x)dx

f(x)=x – вычислим дифференциал f’(x)=1 df(x)=dx=f(x)∆x=1∆x

Замечание: дифференциал функции зависит от двух переменных – от самой точки х и от ей приращения

y=cosx x0=/2 ∆x=/180

y’=-sinx y’(/2)=-sin(/2)=-1

dy(/2)=-1∆x=-1/180=-/180

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х0, а z=g(y) дифференцируема в точке у0=f(x0), тогда сложная функция z=g(f(x) - дифференцируема в точке х0 и z’(x0)=g’(f)f’(x)

Доказательство: (1) ∆z=g’(y0)∆y+(∆y)∆y

(2) ∆y=f(x0)∆x+(∆x)∆x (0)=0 (0)=0

Подставим в первое равенство второе:

∆z=g’(y0)f(x0)∆x+g’(y0)(∆x)∆x+[f’(x0)+(∆x)∆x][f’(x0)∆x+(∆x0∆x]

lim∆z/∆x=limg’(x0)f’(x0)+limg’(x0)(∆x)+lim (f’(x0)+(∆x)∆x)[f’(x0)+∆x]  z’(x0)=g’(y0)f’(x0) что и требовалось

∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0

доказать.

Теорема: Пусть функция y=f(x) возрастает (убывает) в О(х0) и дифференцируема в точке х0. Тогда обратная у ней функция x=g(y) дифференцируема в точки y0=f(x0), причём g’(y0)=1/f(x0)

Доказательство: из дифференцируемой функции f(x) в точке х0 и из монотонности следует существование обратной функции в точке х0 и её непрерывность lim[∆y(y0)]/∆y= ∆y0, то ∆у0  в силу строгой

∆у0 монотонности функции и обратной =

к ней следует ∆х0

=lim∆x/∆y=lim1 /(∆y/∆x)= в силу непрерывности следует =1/[lim∆y/∆x]=1/[lim∆f(x0)/∆x]=1/f(x0) f(x0)0

∆y0 ∆y0 ∆у0, то ∆х0 и наоборот ∆x0 ∆x0

y=ax

y’(x)=lim[ax+∆x-ax]/∆x=lim[ax(a∆x-1)]/∆x=lim[ax(e∆xlna-1)]/∆x=/∆x0, то ∆xlna0\=lim[ax∆xlna]/∆x=axlna

∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0

y’=axlna, частный случай y=ex  (ex)’=ex

y=x^2

y’=x^2 lnx

y=lnx

y’=lim[ln(x+∆x)-lnx]/∆x=lim[ln((x+∆x)/x)]/∆x=lim[ln(1+∆x/x)]/∆x=/∆x/x0 при ∆x0\=lim(∆x/x)/∆x=1/x

∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0

(lnx)’=1/x

y=lnx

y’=1/x

y=logax=lnx/lna (logax)’=1/xlna

y=lgx

y’=1/xln10

y=arcsinx обратная функция x=siny x[-1;1] y[-/2;/2]

(arcsinx)’x=x0=1/(siny)’y0=y=1/cosyy0=y=

y[-/2;/2], cosy0 cosy>0, если y[-/2;/2] то есть x1

=1/(1-sin2y)y=y0=1/(1-(sinarccosx)2)x=x0=1/(1-x02)

(arcsinx)’=1/(1-x2)

y=arcsinx

y’=1/(1-x^2)

y=acrcosx, обратная x=cosy x[-1;1] y[0;]

(arcosx)’=1/(cosy)’y=y0=1/-sinyy=y0=-1/(1-cos2y)y=y0=-1/(1-(cosarccosy)2)x=x0=-1/(1-x02)

(arcosx)’=-1/(1-x2)

y=arccosx

y’=--1/(1-x^2)

y=arctgx обратная функция x=tgy y(-/2;/2)

(arctgy)’=1/(tgy)’=cos2y= / 1+tg2y=1/cos2y \ =1/(1+x2)

(arctgy)’=1/(1+x2)

(arcctgy)’=-1/(1+x2)

y=arctgsx

y’=-1/ (1+x^2)

y=arcctgx

y’=--1/ (1+x^2)

Гиперболические функции.

chx=(ex+e-x)/2

shx=(ex-e-x)/2

chx2-shx2=1

chx2+shx2=ch2x

ch(-x)=chx

sh(-x)=-shx

chx shx

cthx=chx/shx

thx=shx/chx

(chx)’=sh(x)

(shx)’=ch(x)

(thx)=1

Лекция №12

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 25 октября 2000 г.

Тема: «Линеаризация»

Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.

f’(x0)=tg

уравнение прямой : Y=kx+b

y0=f(x0)=kx0+b

k-угловой коэффициент прямой

k=tg=f’(x0)

Y=f(x0)+f(x0)-f’(x0)x0

b=f(x0)-kx0

Y=f(x)+f’(x0)(x-x0)

∆f(x0)=f’(x0)∆x+(∆x)∆x при ∆х0  в некоторой

O(x0) f(x0)=f’(x0)+f’(x0)∆x+(∆x)∆x при ∆х0

Y1=f(x0)+f’(x0)(x-x0)a=f’(x0)+f’(x0)∆x

df(x0)=f’(x0)∆x

Геометрический смысл дифференциала:

df(x0) – это приращение ординаты при движение по касательной проведённой к графику функции в точки (х0;f(x0).

Замечание: Часто говорят о касательной проведённой в точке х0.

Линеаризация функции.

Определение: Замена функции в окрестности данной точки линейной функции называется линеаризацией функции, точнее в О(х0) заменяется отрезком касательной в точке х0.

(*) f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Если в равенстве (*) отбросить правую часть, то мы

получим приближённое равенство:

f(x)f(x0)+f’(x0)(x-x0), xx0

Y=f(x0)+f’(x0)(x-x0) – уравнение касательной в точке х0

Формула получена из определения дифференциала в точке х0 функции

f(x)=f(x0)+f(x0)∆x+o∆x при ∆х0 – называется критерием дифференциальности функции в точке х0.

Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.

Можно приближенно вычислять значение функции в точках близких к заданной точки.

38,001=1

х0=8

х=8,000

f(x)=3x

f(x0)=f(8)=2

Проведём линеаризацию выбранного корня.

f’(x)х=8=(3x)’x=8=1/3x-2/3x=8=1/12

3x2+1/12(x-8), x8

3x2+0,001/12

Yкас=2+1/12(x-8)

3x=2+1/12(x-8)+o(x-8) при х8

Погрешности вычисления.

f(x)-f(x0)=df(x0)+o(x-x0) при хх0

∆f(x0)df(x0), xx0

∆1=∆f(x0)df(x0)

f(x)=10x в точке х0=4, если ∆х=0,001 х=40,001

104∆=10423

f’(x)=10xln10; f’(4)=104ln10=23000; ln102,2

∆230000,001=23

Изучение поведения функции при помощи первой производной.

Слева от М0 tg >0; Справа от М0 tg 

tg f’(x)>0 слева от М0

tg f’(x)0

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема  x(a,b) и f’(x)>0 (f’(x)

a( |x1 |x2 )b

x1,x2(a,b) x12

Надо доказать: f(x1)2)

Применим теорему Лангранджа на отрезке (х1,x2)Теорема.

f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1) где c(x1,x2)

f(x2)-f(x1)>0  f(x2)>f(x1)

Экстремумы функции.

Можно указать О(х1) в которой все значения функции

f(x)1) b и О1(х1) анологично для точки х2

f(x)>f(x1) b и О2(х1). Значенгие функции в точке М1, М3 и М5 –

max; M2 и М4 – min – такие точки назавыются точкками

экстремума или точками локального max и min.

Определение: (точки экстремума)

Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х0) и f(x)>f(x0) в

О(х0) или f(x)0) в этом случае точка х0 – называется точкой локального max (min).

Замечание:

f(x)f(x1) в О1(х1)

f(x)f(x2) в О2(х2)

говорят, что точки х1 и х2 точки не строгого локального

экстремума.

Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции)

Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х0 и точка х0 – точка экстремума, тогда f(x0)=0

Доказательсто: Заметим, что х0 точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x0) сохраняет знак. Запишем условие ∆f(x0)=f(x)-f(x0)(x-x0)+o(x-x0)

f(x)-f(x0)=(x-x0)[f(x0)+(x-x0)] то при х – достаточно близких к х0 знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x0)0 (x-x0) – меняет знак при переходе черех точку х0  f’(x0)=0

Лекция №13

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 31 октября 2000 г.

Тема: «Экстремумы»

Замечание:

Обратное утверждение неверно. Из-за того, что произведение в данной точки равно нулю, не следует, что это экстремум.

y=(x-1)3

y’=3(x-1)2

y’(1)=0

x0=1

xO-(1)f(x)

xO+(1)f(x)

x=1 – не точка экстремума.

Теорема (Ролля):

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда  с(a,b): f(c)=0

Доказательство: Така как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по второй теореме Вейштрасса есть наибольшее и наименьшее значение (m,M), если m=M, то f(x)const (x[a,b]) (const)’=0.

Пусть mf(a): c(a,b):f(c)=M, то есть точка с точка экстремума максимума следовательно по теореме Ферма f’(c)=0

Замечание: условие дифференцируемсти нельзя отбросить.

непрерывна на отрезке [a,b]

Геометрический смысл.

f’(x)=0, то касательная  оси х. Теорема не утверждает, что это единственная точка.

Теорема Лангранджа:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на отрезке (а,b), то  с(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

Доказательство:

F(x)=f(x)+x где  - пока неизвестное число.

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] как сумма непрерывной функции

f(x) – дифференцируема на отрезке [a,b] как сумма дифференцируемой функции.

Выберем число , так чтобы на отрезке [a,b] F(x) принимало равное значение.

F(a)=f(a)+a

F(b)=f(b)+b

F(a)=F(b)  f(a)-f(b)=(a-b)  =[f(b)-f(a)]/[b-a]

F(x) – удовлетворяет условию теоремы Роллера на отрезке [a,b]   c(a,b):F’(c)=0, то есть F’(x)=f’(x)+

0=f’(c)+  f’(c)=-=[f(b)-f(a)]/[b-a]

То есть на кривой которая наклонена

к оси х под таким же углом как и секущая

[f(b)-f(a)]/[b-a]=tg=f(x)  c(a,b)

Замечание:

Часто точку с можно представить в

нужном виде:

с=х0+∆х

00)/(x-x0)= 

c-x0=(x-x0)

c=x0+(x-x0)1

f(x)-f(x0)=f’(x0+∆x)(x-x0)

0

∆f(x0)=f’(x0+∆x)∆x

Теорема: (о необходимых и достаточных условиях экстремума по первой производной)

Пусть y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в О(х0). Если f’(x) меняет знак при переходе через точку х0, то точка х0 – точка экстремума. Если меняет знак:

с + на – то это точка максимума

с – на + то это точка минимума

Доказательство:  х1  О-(х0) на [x1,x0];  c1(x1,x0) f(x0)-f(x1)=f’(c1)(x0-x1)  f(x0)>f(x1) x1O-(x0)

 х2  О+(х0) на [x0,x2];  c2(x0,x2) f(x2)-f(x0)=f’(c2)(x2-x0)  f(x2)0) x2O+(x0)

f(x0)>f(x) xO(x0)  точка х точка максимума.

Если в точке х0 существует производная то она обязательно равна 0 в силе теоремы Ферма. Но могут быть точки в которых f(x) существует, а f’(x) не существует.

Принцип решения подобных задач:

Условие: найти наибольшее и наименьшее значение функции не отрезке [a,b].

Ход решения:

1. Находим точки в которых производная либо равна 0 либо не существует f’(x)=0 или f’(x)  x1, xn

2. Вычисляем знак функции на концах отрезка и в этих точках f(a), f(b), f(x1)….f(xn)

3. Выбираем наибольшее и наименьшее mf(x)

Определение: точки в которых функция определена, а производная либо равняется нулю, либо не существует называют критическими точками.

Производная функции высшего порядка.

Существует f’(x)  x(a,b), тогда эта производная сама является функцией х (х)=f’(x) и можно ставить о дифференцируемости этой функции.

Существует ’(x)  x(a,b), то мы называем её второй производной ’(x)f’’(x)

Лекция №14

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 8 ноября 2000 г.

Тема: Производная функции высшего порядка.

f(n)=def=(f(n-1)(x))’

’’’ – [dnf(x)]/dxn=(d/dx)([dn-1f(x)]/dxn)

Теорема: (Коши – обобщение теоремы Лангранджа1)

Пусть функция f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и g’(x)0, x(a,b), тогда  с  (a,b) такая, что [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f’’(c)/g’(c)

Доказательство: Отметим прежде всего, что g(b)g(a), так как по теореме Лангранджа1 для функции g(x)

g(b)-g(a)=g’(c1)II (b-a)III0 (c1(a,b)) Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)=f(x)-g(X) где  -неизвестное число

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b)

Потребуем F(a)=f(b)

F(b)=f(b)-g(b)

---

F(a)=f(a)-g(a)

___________________

0=f(b)-f(a)-(g(b)-g(a)) =[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]. Получим, что F(x) удовлетворяет условию теоремы Ролля4

с(a,b):F’(c)=0, то есть F’(c)=f’(c)-g’(c)  =f’(c)/g’(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)], что и требовалось доказать.

Правила Лопиталя.

Это правило в случае дифференцируемости функции позволяет избавляться от неопределённостей типа 0/0 или / при вычисление пределов.

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в О(х0), g’(x0)0 в О(х0), f(x0)=g(x0)=0 и 

lim f’(x)/g’(x)=k (конечный или бесконечный предел), тогда  lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

xx xx xx

Доказательство: lim f(x)/g(x)=lim [f(x)-f(x0)]/g(x)-g(x0)=lim f’(c(x))/g’(c(x))= c=c(x) лежащая между х их0 если

xx xx xx

хх0 то сх0=lim f’(x)/g’(x)=k

xx

Замечание(1): f(x0)=g(x0)=0 требование можно заменить требованием lim f(x)=0, lim g(x)=0, то есть в т х0 f(x) и

xx xx

g(x) могут иметь устранимый разрыв, действительно достаточно переопределить или доопределить f(x) и g(x) по непрерывности, так чтобы f(x0)=g(x0)=0

Замечание(2): Если  f’(x0) и g’(x0), g’(x0)0, то утверждение теоремы будет:

lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=lim [(x-x0)(f’(x0)+(x-x0))]/ [(x-x0)(g’(x0)+ (x-x0))]=f’(x0)/g’(x0)

xx xx xx

Теорема: (/) Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в О(х0), g'(x)0 и О(х0), дифференцируемы в О(х0) и

lim f(x)=lim g(x)=;  lim f’(x)/g’(x)=k. Тогда lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

xx xx xx xx xx

Без доказательства!

Замечание: Если функции f’(x) и g’(x) сами удовлетворяют условия теоремы то правило Лопиталя можно применить повторно:

f(x)=ex g(x)=xn x

lim ex/xn= lim ex/1!= nN lim ex/xn= lim ex/nxn-1= lim ex/[n(n-1)xn-2]=lim ex/n!=+

x+ x+ x+ x+ x+ x+

f(x)=lnx

x+

g(x)=xn

lim lnx/xn= lim (1/x)/nxn-1= lim 1/nxn=0

x+ x+ x+

Формулы Тейлора.

Определение: (многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х0 многочлен (полином) вида

Tn(х)=f(x0)+[f’(x0)(x-x0)]/1!+ [f’’(x0)(x-x0)2]/2!+ [fn(x0)(x-x0)]/n! называется многочлен Тейлора с центром в точке х0 или многочленом по степеням (х-х0)

Свойства многочлена Тейлора.

Теорема: (основное свойство многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х0 f(x)=Tn(x0); f’(x0)=Tn’(x0),…,f(n)(x0)=Tn(n)(x0)

Доказательство; (подстановкой) Tn(х)=f(x0)+[f’(x0)(x-x0)]/1!+ [f’’(x0)(x-x0)2]/2!+ [fn(x0)(x-x0)]/n! , подставим х0 получим Tn(x0)=f(x0). Продифференцируем многочлен Тейлора

Tn’(x)=f’(x0)/1!+[f’’(x0)2(x-x0)]/2!+ [f’’’(x0)3(x-x0)2]/3!+ [fn(x0)n(x-x0)n-1]/n!, подставим вместо х х0

Tn(x0)=f(x0)

Tn’’(x)=f’’(x0)/1!+[f’’’(x0)32(x-x0)]/3!+…+ [f(n)(x0)n(n-1)(x-x0)n-2]/n!

Tn’’(x)=f’’(x0)

Формула Тейлора с остаточным членом пеано.

Теорема: Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х0, тогда в О(х0) f(x)=Tn(x)+o((x-x0)n), xx0

f(x)= f(x0)+[f’(x0)(x-x0)]/1!+ [f’’(x0)(x-x0)2]/2!+ [fn(x0)(x-x0)n]/n!+0((x-x0)n)(x-x0)1

lim[f(x)-Tn(x)]/(x-x0)n=(0/0)=lim [f’(x)-Tn’(x)]/n(x-x0)n-1=(0/0)=….=lim [f(n)(x)-Tn(n)(x)]/n!=0  функция

xx xx xx

[f(x)-Tn(x)]/(x-x0)n=(х-х0)ii  f(x)-Tn(x)=(x-x0)n(x-x0)=0((x-x0)n) при хх0 что и требовалось доказать.

Замечание: в случае если х0=0 формула Тейлора называется Маклорена f(x)=f(0)+[f’(0)x]/1!+ [f’’(0)x2]/2!+ [fn(0)xn]/n!+0xn при х0

1 На концах отрезка [a,b] и на концах принимает значение разных знаков

2 (x-x0)-бесконечно малое при хх0

1 x0

1 (∆x) – бесконечно малое при ∆х0, а (∆x)∆х – есть о∆х

1 Y – ордината касательной

a – x-x0 =∆x

1 ∆-погрешность вычисления.

Теорема –Если f(x) непрерывна на [a,b] дифференцируема на отрезке (а,b), то  с(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

1 (x-x0)=∆x

1 Теорема – Если f(x) непрерывна на [a,b] дифференцируема на отрезке (а,b), то  с(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

II – g’(c1)=0 по условия теоремы

III – (b-a)=0

4 - Теорема (Ролля): Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда  с(a,b): f(c)=0

1 0((x-x0)n)(x-x0) – остаточный член в форме пеано

ii (х-х0) – бесконечно малое при хх0

Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 14 ноября 2000 г.

Тема: Пять основных разложений

1)y=ex, x0=0

y(0)=1

y’(0)=ex|x=0=1

y’’(0)=ex|x=0=1

y(n)(0)=ex|x=0=1

n=1 ex=1+x+o(x),xx0

2) y=sinx, x0=0

y(0)=0

y’(0)=cos|x=0=1

y’’(0)=-sinx|x=0=0

y’’’(0)=-cosx|x=0=-1

y’’’’(0)=sinx|x=0=0

если n – чётное, то y(n)(0)=0; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=(-1)k

3) y=cosx, x0=0

y(0)=1

y’(0)=-sinx|x=0=0 *

y’’(0)=-cosx|x=0=-1

y’’’(0)=sinx|x=0=0

y’’’’(0)=cosx|x=0=1

если n=2k – чётное, то y(n)(0)=(-1)k; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=0

4) y=ln(1+x), x0=0

y(0)=ln1=0

y’(0)=1/(1+x)|x=0=1

y’’(0)=1(-1)/(x+1)2x=0=-1

y’’’(0)=(-1)(-2)/(x+1)3x=0=(-1)(-2)

y’’’’(0)= (-1)(-2)(-3)/(x+1)4x=0=(-1)(-2)(-3)

y(n)=[(-1)(-2)(-3)…(-n+1)]/(1+x)nx=0=(-1)n-1123…(n-1)=(-1)n-1(n-1)!

5) y=(1+x)p, x0=0

y(0)=1

y’(0)=p(1+x)p-1|x=0=p

y’’(0)= p(p-1)(1+x)p-2x=0=p(p-1)

y’’’(0)= p(p-1)(p-2)(1+x)p-3x=0=p(p-1)(p-2)

y(n)=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)(1+x)p-nx=0=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)

Если р – натуральное, то y(n)(0)=0 np+1

(либо n

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.

Теорема: Пусть функция y=f(x) – n+1 раз дифференцируема в О(х0), тогда в некоторой Оε(х0)

#

где с лежит между х и xn

Доказательство: Применим теорему Коши о двух функциях к следующим функциям

(x)=f(x)-Tn(x)$

g(x)=(x-x0)n+1

(x0)=0; ’(x0)=0,…,(n)(x0)=0; (n+1)(x)=f(n+1)(x)

g’(x0)=(n+1)(x-x0)nx=0=0; g(n+1)(x)=(n+1)!

[a,b](x);(a,b)g(x);g’(x)0

Лекция №16

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 21 ноября 2000 г.

Тема: Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа, Выпуклость, Вогнутость.

Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.

Пусть функция f(x) – два раза дифференцируема в О(х0), тогда

f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+[f’’(c)(x-x0)2]/2 где с лежит между х и х0

уравнение касательной

Если f’’(x)M xO(x0)

f(x)-n+1 – дифференцируема в О(х0)

f(x)=Tn(x)+Rn(x) в О(х0)

n=1

T1(x) – линейная функция

n=2

- график парабола

f(x)-T1(x)=f’(x0)x-x0

f(x)-T2(x)=[f’’(x0)x-x02]/2

T3(x)=ax3+bx2+cx+d – график кубическая парабола

Выпуклость и вогнутость.

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

в точке х0, если f(x)-yкас0)

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) вниз в

точке х0, если f(x)-yкас>0 в О(х0)

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

(вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз)

в каждой точке этого интервала.

Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) диф-

ференцируема в О(х0) и непрерывна в О(х0). Точка х0 –

называется точкой перегиба графика f(x), если при пере-

ходе через точку меняется знак выпуклости.

Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции).

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0 и f’’(x0)0)>0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х0.

Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме пеано:

Если х близко к х0, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x0). Если f’’(x0)кас>0 в О(х0).

Если f’’(x0)>0, то f(x)-yкас>0 в О(х0)

Теорема: Путь функция f(x) непрерывна в О(х0) и дважды дифференцируема в О(х0), причём f’(x) меняет знак при переходе через точку х0, тогда точка х0 – точка перегиба.

Доказательство:

f’’(x) - +

(  ) x

x0

f’’(x)-(x0) f(x) – выпукла вверх в О-(х0)

f’’(x)>0 в O+(x0) f(x) – выпукла вниз в О+(х0)

Следствие: Если f(x) дважды дифференцируемы в точке х0. Если точке х0 точка перегиба, то f’’(x0)=0

Путь точка х0 точка перегиба и существует f’’(x0)>0, тогда

то есть при переходе через точку х0 левая часть равенства f(x)-yкас не меняет знак. Аналогично получаем для f(x)>0 f’’(x0)=0

Замечание: Условие равенства f’’(x0)=0 необходимо, но недостаточно.

Теорема: (о достаточном условие экстремума по второй производной)

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0, тогда точка х0 точка максимума если f’’0 точка минимума если f’’(x0)>0.

Доказательство:

При х достаточно большим и х0 знак в квадратных скобках совпадает со знаком f’’(x0) f(x)-f(x0)>0 в О(х0), если f’’(x0)>0 то есть f(x)>f(x0) в О(х0) х0 точка минимума, если f(x)-f(x0)(х0), и если f’’(x0)0) в О(х0) х0 точка максимума.

Замечание: Если f’(x0)=0 и f’’(x0)=0, то нужны дополнительные исследования.

Лекция №17

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 22 ноября 2000 г.

Тема: Асимптоты. Полное исследование функции.

Асимптоты.

1. Вертикальные

1. Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х0 называется правой вертикальной асимптотой для функции f(x)

2. Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х0 называется левой вертикальной асимптотой для функции f(x)

1. Наклонные асимптоты

2.1 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется правой наклонной асимптотой для функции f(x). (Если k=0, то говорят, что y=b – горизонтальная асимптота).

2.2 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется левой наклонной асимптотой для функции f(x).

Необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты.

Пусть функция f(x) определена в О(+) и

тогда прямая y=kx+b правая наклонная асимптота

Замечание: если условие 1) не выполнено, то нужно посчитать предел lim(f(x)), чтобы выяснить поведение

х+

функции на бесконечности.

Полное исследование функции.

1. Область определения

2. Симметрия и периодичность

3. Вертикальные асимптоты

4. Наклонные асимптоты

5. Критические точки, если есть, то находим точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции f'(x)=0 или f’(x) не существует, а f(x) существует

6. Возможные точки перегиба f’’(x)=0, либо f’’(x) не существует, но f’(x) существует следовательно промежутки выпуклости и вогнутости

7. Точки пересечения с осями координат и промежутки знака постоянства (если можно)

Пример:

1. Область определения D: x№3

2. Функция не симметрична и не периодична

3. 

Ю х=3 правая и левая вертикальная асимптота

4)

Ю y=0 правая и левая горизонтальная асимптота

5)

критическая точка х1=-3/2

f(-3/2)=4/243

6)

критическая точка х2=-3

f(-3)=1/72

7)x=0 y=0

Приближенные методы решения уравнения f(x)=0

1) Метод хорд

а) f(x), f’(x), f’’(x) – непрерывны на отрезке [a,b]

б) f(a)f(b)

в) f’(x) и f’’(x) – сохраняют знаки на отрезке [a,b]

f()=0;A(a;(f(a)),B(b;f(b))

Лекция №18

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Оценка скорости сходимости.

2

2) Метод касательных (метод Ньютона)

f(x)=0

1)f(x),f’(x),f’’(x)-непрерывна на [a,b]

2)f(a), f(b)

3)f’(x),f’’(x) – сохраняет знак на [a,b]

точка пересечения х1 – это точка пересечения касательной с осью Ох

Yкас=0, x=x1

0=f(b)+f’(b)(x1-b)

f’(b)b-f(b)=f’(b)x1

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа в точке xn

c – лежит между х и хn

Положим x=; f()=0

M>0:|f”(x)|M

x[a,b] m>0:|f’(x)|m;x[a,b]

Надо выбирать отрезок так b-a

|f”(x)|M

Вектор функция. Параметрическая производная.

По закону (1) ставиться в соответствие вектор r(t). (x(t),y(t) – заданные числовые функции

r(t) – вектор функция. Кривая описываемая концом вектора – называется годографом.

Видим, что кривые на плоскости можно задать в виде:

Называется параметрическое задание кривой, где t –параметр

x2+y2=r2

Остроида

x2/3+y2/3=a2/3

Циклоида

Лекция №19

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Параметрическая производная.

* o’1 x2n+2=xx2n+1=o(x2n+1)

# - остаточный член в форме Лангранджа

$ -Tn(x) – многочлен Тейлора

 Rn(x)-остаточный член в форме Лангранджа