![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Главная Рефераты по рекламе Рефераты по философии Рефераты по финансам Рефераты по химии Рефераты по цифровым устройствам Рефераты по экологическому праву Рефераты по экономико-математическому моделированию Рефераты по экономической географии Рефераты по экономической теории Рефераты по этике Рефераты по юриспруденции Рефераты по языковедению Рефераты по юридическим наукам Рефераты по истории Рефераты по компьютерным наукам Рефераты по медицинским наукам Рефераты по финансовым наукам Рефераты по управленческим наукам Рефераты по строительным наукам Психология педагогика Промышленность производство Биология и химия Языкознание филология Издательское дело и полиграфия Рефераты по краеведению и этнографии Рефераты по религии и мифологии Рефераты по медицине Рефераты по сексологии Рефераты по москвоведению Рефераты по экологии Краткое содержание произведений Рефераты по физкультуре и спорту Топики по английскому языку Рефераты по математике Рефераты по музыке Остальные рефераты |
Курсовая работа: Інтерполювання функційКурсовая работа: Інтерполювання функційЗміст ВступРозділ IІнтерполювання функцій1.1 Постановка задачі1.2 Інтерполяційні формули Ньютона1.2.1 Перша інтерполяційна формула Ньютона1.2.2 Друга інтерполяційна формула Ньютона1.2.3 Оцінка похибок інтерполяційних формул Ньютона1.3 Інтерполяційні формули Гауса1.4 Інтерполяційна формула Бесселя1.5 Інтерполяційна формула Стірлінга1.6 Оцінки похибок центральних інтерполяційних формул1.7 Інтерполяційна формула Ньютона для нерівновіддалених вузлів1.8 Приклади застосування інтерполяційних формул1.8.1 Приклад 11.8.2 Приклад 21.9 Програмна реалізація1.9.1 Призначення програми1.9.2 Основні процедури1.9.3 Інструкція по використанню програми1.9.4 Перевірка працездатності програмиРозділ ІІЛітератураДодаткиУ зв’язку з розвитком обчислювальної техніки інженерна практика наших днів все частіше і частіше зустрічається з математичними задачами, точний розв’язок яких отримати достатньо важко. В таких випадках зазвичай звертаються до тих чи інших наближених обчислень. Ось чому наближені і чисельні методи математичного аналізу отримали за останні роки широкий розвиток і набули виключно важливого значення. Чисельне розв’язання прикладних задач завжди цікавило математиків. Аналіз ускладнених моделей вимагав створення спеціальних, як правило, чисельних або асимптотичних методів розв’язання завдань. Назви деяких з таких методів - методи Ньютона, Ейлера, Лобачевського, Гауса, Чебишева, Ерміта, Крилова - свідчать про те, що їх розробкою займалися найвидатніші вчені свого часу. Чисельні методи є одним з могутніх математичних засобів розв’язання задач. Прості чисельні методи ми використовуємо скрізь, наприклад, при знаходженні квадратного кореня на листку паперу. Є завдання, де без достатньо складних чисельних методів не вдалося б отримати відповіді. Класичний приклад — відкриття Нептуна по аномаліях руху Урану. Загалом у курсах чисельних методів вивчаються питання побудови, застосування і теоретичного обґрунтування алгоритмів наближеного розв’язання різних класів математичних задач. У наш час більшість обчислювальних алгоритмів орієнтовано на використання швидкодіючих ЕОМ, що значно впливає на підбір учбового матеріалу й на характер його викладу. Тільки обчислювальній машині під силу виконувати за короткий час об'єм обчислень в мільярди, трильйони і більше операції, які необхідні для вирішення багатьох сучасних завдань. Варто відмітити деякі особливості предмету чисельних методів. По-перше, для чисельних методів характерна множинність, тобто можливість розв’язати одну й ту саму задачу різними методами. По-друге, природничонаукові задачі і швидкий розвиток обчислювальної техніки змушують переоцінювати значення існуючих алгоритмів і призводять до створення нових. По-третє, чисельні методи разом із можливістю отримання результату за прийнятний час не повинні вносити у обчислювальний процес значних похибок. У даній курсовій роботі розглядається задача про інтерполяцію функції. Якщо задана функція y(x), то це означає, що будь-якому допустимому значенню х ставиться у відповідність значення у. Однак, нерідко виявляється, що знаходження цього значення дуже трудомістке. Наприклад, у(х) може бути визначене як розв’язок складної задачі, в якій х виконує роль параметра, або у(х) вимірюється в дорогому експерименті. При цьому можна обчислити невелику таблицю значень функції, але пряме знаходження функції при великому числі значень аргументу буде практично неможливо. Функція у(х) може брати участь у будь-яких фізико-технічних або чисто математичних розрахунках,
де її доводиться багато разів обчислювати. У цьому випадку вигідно
замінити функцію у (х) наближеною відомою
функцією, тобто підібрати деяку функцію f(x), яка близька у певному сенсі до
у(х) і легко обчислюється. Потім при всіх значеннях аргументу вважають,
що Більша частина класичного чисельного аналізу ґрунтується на наближенні многочленами, оскільки з ними легко працювати. Однак для багатьох цілей використовують і інші класи функцій (див. [2]). Вибравши вузлові точки і клас функцій, що наближають, ми повинні також вибрати одну певну функцію з цього класу за допомогою деякого критерію - міри наближення або «згоди». Перш, ніж почати обчислення, ми повинні вирішити також, яку точність ми хочемо мати у відповіді і який критерій ми оберемо для вимірювання цієї точності. Все викладене можна сформулювати у вигляді чотирьох питань: 1. Які вузли ми будемо використовувати? 2. Який клас функцій для наближення будемо використовувати? 3. Який критерій згоди ми застосуємо? 4. Яку точність ми хочемо? Існує 3 класи або групи функцій, широко застосовуваних у чисельному аналізі. Перша група включає в себе лінійні комбінації функцій 1, х, х2, ..., хn, що збігається з класом усіх многочленів степені n (або менше). Другий клас утворюють функції cos aix, sin aix. Цей клас має відношення до рядів Фур'є та інтегралу Фур'є. Третя група утворюється функціями e-az. Ці функції зустрічаються в реальних ситуаціях. До них, наприклад, призводять задачі накопичення і розпаду. Що стосується критерію згоди, то класичним критерієм згоди є «точний збіг у вузлових точках». Цей критерій має перевагу завдяки простоті теорії та виконанню обчислень, але також незручність через ігнорування похибки (шуму), що виникає при вимірюванні або обчисленні значень у вузлових точках. Інший відносно хороший критерій - це «найменші квадрати». Він означає, що сума квадратів відхилень у вузлових точках повинна бути найменшою можливою або, іншими словами, мінімізована. Цей критерій використовує помилкову інформацію, щоб отримати деяке згладжування шуму. Третій критерій пов’язаний з ім'ям Чебишева. Основна ідея його полягає в тому, щоб зменшити максимальне відхилення до мінімуму. Очевидно, можливі й інші критерії. Більш конкретно відповісти на поставлені 4 питання можна лише виходячи з умов і мети кожної окремої задачі. Розділ I. Інтерполювання функцій Однією з основних задач чисельного аналізу являється задача про інтерполяцію функції. Багатьом з тих, хто стикається з науковими та інженерними розрахунками часто доводиться оперувати наборами значень, отриманих експериментальним шляхом чи методом випадкової вибірки. Як правило, на підставі цих наборів потрібно побудувати функцію, зі значеннями якої могли б з високою точністю збігатися інші отримувані значення. Така задача називається апроксимацією кривої. Інтерполяцією називають такий різновид апроксимації, при якій крива побудованої функції проходить точно через наявні точки даних. Існує також близька до інтерполяції задача, що полягає в апроксимації якої-небудь складної функції іншою, більш простою функцією. Якщо деяка функція занадто складна для продуктивних обчислень, можна спробувати обчислити її значення в декількох точках, а по них побудувати, тобто інтерполювати, більш просту функцію. Зрозуміло, використання спрощеної функції не дозволяє одержати такі ж точні результати, які давала б початкова функція. Але, для деяких класів задач, досягнутий виграш у простоті і швидкості обчислень може переважити отриману похибку у результатах. Варто також згадати і зовсім інший різновид математичної інтерполяції, відому за назвою «інтерполяція операторів». До класичних робіт по інтерполяції операторів відносяться теорема Ріса-Торина і теорема Марцинкевича (див. [3]), що є основою для багатьох інших робіт. В результаті виникає наступна математична задача. Нехай функція
Потрібно побудувати інтерполянту –
функцію
Основна мета інтерполяції – отримати
швидкий алгоритм обчислення значень Із умов (1. 1. 1) отримуємо систему п+1 рівнянь
відносно коефіцієнтів Припустимо, що система функцій
Тоді по заданим В даній курсовій роботі розглядаються інтерполяційні поліноми. Відомо, що будь-яка неперервна на
відрізку Теорема Вейерштрасса: Для будь-якого Отже, будемо шукати інтерполяційний поліном в вигляді:
де Визначник даної системи являється відмінним від нуля визначником Вандермонда (див. [9]):
Звідси випливає, що інтерполяційний поліном (1. 1. 2) існує і він єдиний, хоча форм його запису існує багато. В
якості базису Неважко побачити, що поліном степені п задовольняє
цим умовам. Полином Поліном
має
степінь не вище п і
При оцінці похибки результатів повинні враховуватись як похибки методу інтерполяції (залишковий член), так і похибка округлення при обчисленнях. 1.2 Інтерполяційні формули Ньютона Часто інтерполювання ведеться для
функцій, заданих таблицями з рівновіддаленими значеннями аргументу (тобто
такими, що будь-який Для побудови формули Ньютона необхідно ввести поняття кінцевих різниць. Кінцевими різницями називають різниці
між значеннями функції в сусідніх вузлах (точках де
де Повторюючи процедуру, отримаємо кінцеві різниці третього порядку:
Для кінцевих різниць
В результаті отримаємо таблицю кінцевих різниць:
............. Залучивши визначення похідної, можна
виявити певний зв'язок між кінцевими різницями і похідними. А саме, якщо
враховувати, що
тобто Таким чином, на кінцеві різниці можна дивитись як на деякий аналог похідних. Звідси справедливість багатьох їх властивостей, однакових зі властивостями похідних. Відмітимо лише найпростіші властивості кінцевих різниць: 1. кінцеві різниці сталої дорівнюють нулю; 2. сталий множник у функції можна виносити за знак кінцевої різниці; 3. кінцева різниця від суми двох функцій дорівнює сумі їх кінцевих різниць в одній і тій же точці. Враховуючи роль, яку відіграють многочлени в теорії інтерполювання, подивимось, що представляють собою кінцеві різниці многочленна. Так як многочлен в своїй канонічній
формі є лінійна комбінація степеневих функцій, покладемо спочатку тобто перша кінцева різниця
степеневої функції
то в силу лінійних властивостей При Тобто, головний висновок із попередніх роздумів: п-і кінцеві різниці многочленна п-ого степеня постійні, а (п+1)-ші і всі наступні рівні нулю. Однак, більш важливим для розуміння
суті поліноміального інтерполювання є твердження, обернене зробленому вище
висновку. А саме, що якщо кінцеві різниці п-го порядку деякої функції Для функції 1.2.1 Перша інтерполяційна формула Ньютона Нехай для функції
Умови (1. 2. 3) еквівалентні тому, що Використовуючи загальний степінь, вираз (1. 2. 3) запишемо так: Наша задача заклечається у визначенні
коефіцієнтів Щоб знайти коефіцієнт Підставляючи знайдені значення
коефіцієнтів
Легко побачити, що поліном (1. 2. 6.)
повністю задовольняє вимогам поставленої задачі. Дійсно, по-перше, степінь
поліному Замітимо, що при Для практичного використання
інтерполяційну формулу Ньютона (1. 2. 6) зазвичай записують в дещо
перетвореному вигляді. Для цього введемо нову змінну підставляючи ці вирази у формулу (1. 2. 6), отримаємо:
де Формулу (1. 2. 7) вигідно
використовувати для інтерполювання функції в околі початкового значення Якщо у формулі (1. 2. 7) покласти
п=1, то отримаємо формулу лінійного інтерполювання:
Якщо дана необмежена таблиця значень Якщо таблиця значень функції
скінчена, то Відзначимо, що при застосуванні першої інтерполяційної формули Ньютона зручно використовувати горизонтальну таблицю різниць, так як потрібні значення різниць функції знаходяться у відповідному горизонтальному рядку таблиці. 1.2.2 Друга інтерполяційна формула Ньютона Перша інтерполяційна формула Ньютона практично незручна для інтерполювання функції поблизу вузлів таблиці. В такому випадку зазвичай застосовують другу інтерполяційну формулу Ньютона. Виведемо цю формулу. Нехай маємо систему значень функції або, використовуючи узагальнену степінь, отримуємо:
Наша задача полягає у визначенні
коефіцієнтів
Покладемо Далі беремо від лівої і правої формули (1. 2. 8) кінцеві різниці першого порядку
Звідси, вважаючи
Покладаючи Характер закономірності коефіцієнтів
Підставляючи ці значення у формулу (1. 2. 8) будемо мати остаточно
Формула (1. 2. 11) носить назву другої інтерполяційної формули Ньютона. Введемо більш зручний запис формули (1.
2. 11). Нехай
Підставивши ці значення у формулу (1. 2. 11), отримаємо:
Це і є загальний вигляд другої
інтерполяційної формули Ньютона. Для наближеного обчислення значень функції Як перша, так и друга інтерполяційні
формули Ньютона можуть бути використані для екстраполяції, тобто, для
знаходження значень функції Відмітимо, що операція екстраполяції, взагалі кажучи, менш точна, ніж операція інтерполяції у вузькому значенні слова. 1.2.3 Оцінка похибок інтерполяційних формул Ньютона Для функції Введемо допоміжну функцію
Функція
Звідси, так як
При цьому значення множника
Малюнок 1. Графік функції Застосовуючи теорему Ролля до
похідної Продовжуючи ці роздуми, прийдемо до
висновку, що на відрізку Із формули (1. 2. 11) так як Порівнюючи праві частини формул (1. 2. 13) і (1. 2. 14), будемо мати:
Так як
де Відмітимо, що формула (1. 2. 16) справедлива для всіх точок
відрізка На основі формули (1. 2. 16) отримаємо залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона:
де Аналогічно, покладаючи в формулі (1. 2. 17)
де Зазвичай при практичних обчисленнях інтерполяційна формула Ньютона обривається на членах, що містять такі різниці, які в межах заданої точності можна вважати постійними. Вважаючи, що
В цьому випадку залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона наближено рівний
При таких самих умовах для залишкового члена другої інтерполяційної формули Ньютона отримаємо вираз
1.3 Інтерполяційні формули Гауса При побудові інтерполяційних формул Ньютона використовуються лише значення функції, що лежать з однієї сторони початкового наближення, тобто, ці формули носять односторонній характер (див.[3]). В багатьох випадках виявляються
корисними інтерполяційні формули, що містять як наступні, так і попередні
значення функції по відношенню до її початкового наближеного значення. Найбільш
вживаними серед них являються ті, що містять різниці, розміщені у
горизонтальному рядку діагональної таблиці різниць даної функції, що відповідає
початковим значенням Відповідні їм формули називають інтерполяційними формулами із центральними різницями. До їх числа відносяться формули Гауса, Стірлінга і Бесселя. Постановка задачі. Нехай маємо 2п+1 рівновіддалені вузли інтерполяції:
де
для всіх відповідних значень і та k. Будемо шукати поліном у вигляді: Вводячи узагальнені степені (див [3]), отримаємо: Застосовуючи для обчислення
коефіцієнтів Далі вводячи змінну або, коротше, де Перша інтерполяційна формула Гауса містить центральні різниці
Аналогічно можна отримати другу
інтерполяційну формулу Гауса, котра містить центральні різниці або, в скорочених позначеннях, де Формули Гауса застосовуються для
інтерполювання в середині таблиці поблизу 1.4 Інтерполяційна формула Бесселя Для того, щоб вивести формулу Бесселя використаємо другу інтерполяційну формулу Гауса (1. 3. 6). Візьмемо Якщо обрати за початкове значення прикладний задача інтерполяційний формула Візьмемо тепер за початкове значення Взявши середнє арифметичне формул (1. 4. 1) і (1. 4. 2), після нескладних перетворень отримаємо інтерполяційну формулу Бесселя: де Тобто, інтерполяційна формула Бесселя
(1. 4. 3), як слідує із способу отримання її, представляє собою поліном, який
співпадає з даною функцією В окремому випадку, при п=1, нехтуючи
різницею
або У формулі Бесселя всі члени, котрі
містять різниці непарного порядку, мають множник Цей спеціальний випадок формули Бесселя
називається формулою інтерполювання на середину. Якщо у формулі (1. 4. 3)
зробити заміну змінної за формулою де Формула Бесселя використовується для
інтерполювання всередині таблиці при значеннях q, близьких до 0.5. Практично
вона використовується при 1.5 Інтерполяційна формула Стірлінга Якщо взяти середнє арифметичне першої інтерполяційної формули Гауса (1. 3. 4) та другої формули Гауса (1. 3. 6), то отримаємо формулу Стірлінга: де Легко бачити, що Формула Стірлінга використовується
для інтерполювання в середині таблиці при значеннях 1.6 Оцінки похибок центральних інтерполяційних формул Приведемо залишкові члени для формул Гауса, Стірлінга і Бесселя [12]. 1. Залишковий член інтерполяційних формул Гауса (1. 3. 4) і (1. 3. 6) та інтерполяційної формули Стірлінга (1. 5. 1). Якщо 2п – порядок максимальної різниці таблиці, яка використовується і де Якщо ж аналітичний вираз функції 2. Залишковий член інтерполяційної формули Бесселя (1. 4. 3). Якщо 2п+1 – порядок максимальної
використовуваної різниці таблиці і
де Якщо ж функція
Найбільш простий вигляд формула має при q=0.5, так як всі члени, що містять різниці непарного порядку зникають. Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Її використовують для ущільнення таблиць [4], тобто для складання таблиць з більш малим кроком. Для залишкового члена при q=0.5 маємо:
1.7 Інтерполяційна формула Ньютона для нерівновіддалених вузлів Для побудови інтерполяційних формул у
випадку довільного розташування упорядкованих не співпадаючих вузлів Через значення функції
На різницях (1. 7. 1) шукаються розділені різниці другого порядку: і т.д. Таким чином, якщо визначені
k-ті різницеві відношення
Нехай
Для розділеної різниці другого
порядку по точкам Формально, на основі рекурентного
відношення (1. 7. 2) цей процес може бути продовжений. В результаті можна
записати формулу, яка описує своєрідне розкладання
Якщо Припустимо, що цей многочлен Підставивши другий доданок якої може розглядатись в якості залишкового члена, тобто
де Так як для обчислення різниці При практичному використання
інтерполяційної формули (1. 7. 5) доводиться покладатися на зменшення модулів доданків 1.8 Приклади застосування інтерполяційних формул 1.8.1 Приклад 1 Використовуючи першу і другу
інтерполяційну формулу Ньютона і Гауса, а також інтерполяційні формули
Стірлінга і Бесселя необхідно знайти значення функції Таблиця 1. Значення функції
Розв’язання: Складемо спочатку таблицю кінцевих різниць (табл. 2). Таблиця 2. Кінцеві різниці
При складанні таблиці різниць обмежимося різницями третього порядку, оскільки вони практично постійні. ·
За першою
інтерполяційною формулою Ньютона (1. 2. 7), приймаючи
·
За другою
інтерполяційною формулою Ньютона (1. 2. 11), приймаючи
·
За першою
інтерполяційною формулою Гауса (1. 3. 4), приймаючи
Отже, отримаємо: ·
За другою
інтерполяційною формулою Гауса (1. 3. 6), приймаючи
· За інтерполяційною формулою Стірлінга, підставляючи відповідні коефіцієнти із таблиці різниць (табл. 2) у формулу (1. 5. 1) отримаємо: · За інтерполяційною формулою Бесселя, підставляючи відповідні коефіцієнти із таблиці різниць (табл. 2) в формулу (1. 4. 3) отримаємо: Тепер проведемо оцінку отриманих результатів. Введемо наступні позначення: ІФН – інтерполяційна формула Ньютона; ІФГ - інтерполяційна формула Гауса; ІФБ - інтерполяційна формула Бесселя; ІФС - інтерполяційна формула Стірлінга. Для зручності результати запишемо у вигляді таблиці (табл. 3):
Таблиця 3. Отримані результати. Тепер визначимо похибку отриманих результатів. Для цього від значення, отриманого за допомогою першої ІФН, віднімемо результати, отримані зі допомогою інших формул. В результаті отримаємо таку розрахункову табличку (табл. 4):
Таблиця 4. Абсолютні похибки результатів. Тоді, щоб отримати відносну похибку
результату, необхідно абсолютні похибки поділити на відповідні отримані
наближені значення
Таблиця 5. Відносні похибки. Бачимо, найкраще наближення до значення, одержаного за ІФН 1-ою, досягається інтерполяційною формулою Стірлінга. Висновок. Як зазначалося вище (див.
пункт 1.6), ІФС краще використовувати, для інтерполювання в середині таблиці, в
чому ми і переконалися в даному прикладі, оскільки Знайти значення функції Таблиця 6. Значення функції
Розв’язання: Оскільки в умові сказано використовувати лише розділені різниці другого і третього порядку, то формула Ньютона для нерівновіддалених вузлів (1. 7. 5) матиме вигляд:
де Попередньо обчислимо необхідні значення розділених різниць (табл. 7). Таблиця 7. Розділені різниці
Для визначення Таблиця 8. Розрахункова таблиця 1.9.1 Призначення програми Дану програму було розроблено з метою надання можливості за допомогою ЕОМ обчислювати наближені значення функції у випадку, коли функція задана таблично, використовуючи для цього інтерполяційні формули для рівновіддалених вузлів (1. 2. 7), (1. 2. 11), (1. 3. 4), (1. 3. 6), (1. 4. 3), (1. 5. 1) та інтерполяційну формулу (1. 7. 5)- для нерівновіддалених вузлів. Крім того, враховано можливість отримання загального вигляду відповідного інтерполяційного поліному наближення з метою подальшого використання при, наприклад, плануванні експериментів в біології, фізиці, хімії, географії, медицині та ін. галузях науки. Так як програма, більшою мірою, призначення для використання в навчальних цілях, то в ній передбачена можливість вибору початкових даних згідно варінтів лабораторних робіт, наведених в [7], що дає можливість зменшити витрати часу при введені даних для студентів. Програмну реалізацію було здійснено в інтегрованому середовищі розробки Microsoft Visual Studio 2008 Team System у проекті типу Visual C# з використанням мови програмування С# на базі технології .NET Framework 2.0. Програма має назву «InterPolation». Розглянемо основні процедури і функції програми та їх призначення:
Аналогіно відповідно працють функції EvalFFGauss і FFGauss для першої формули Гауса, EvalSFGauss і SFGauss для другої формули Гауса, EvalFStirling і FStirling для формули Стірлінга та EvalFBessel і FBessel для формули Бесселя.
Тобто це основні функції та процедури, окрім них в програмі ще використовуються допоміжні функції для зчитування даних, для перевірки правильності введених даних, для зберігання результатів у файл, для запуску тестового прикладу, який розглядався в пункті 1.8.1 і т.д. 1.9.3 Інструкція по використанню програми Для запуску програми «InterPolation» потрібно відкрити папку Release і запустити InterPolation.ехе. В результаті з’явиться вікно програми (мал. 2). Мал. 2. Інтерфейс основної форми програми У полі «х» вводиться значення аргументу, для якого необхідно наближено обчислити значення функції, заданої відповідною таблицею. У полі «степінь многочлена» користувачеві необхідно ввести степінь многочленна для наближення функції. У поле «крок» потрібно ввести крок h, а в полі «Розміри таблиці» вводиться кількість даних фіксованих значень функції. Потім у відповідному віконці обирається формула, яка застосовується для наближення. Після цього натискаємо кнопку «Застосувати» і у вікні ще з’являється табличка для вводу хі, уі. Після заповнення таблиці потрібно натиснути кнопку «Інтерполяція» для того, щоб програма виконала необхідні обчислення і видала результат. Крім того, з правого боку є випадаючий список «Варіант», де користувач може обрати один із 30-ти варіантів вихідних даних, що містяться в [7], потім знову ж таки обрати степінь полінома, х, формули, які хоче застосовувати. В меню «Файл» користувач може обрати «Тестовий варіант». В результаті програма виведе всі результати обчислень згідно прикладу 1 (пункт 1.8.1) (мал. 3): Мал. 3. Тестовий варіант В меню файл користувач також може обрати «Зберегти». В результаті програма збереже результати роботи програми у файл. Тип файлу визначає сам користувач. Тобто, якщо, наприклад, зберегти результати обчислень тестового варіанту у текстовому документі, то відкривши цей файл будемо мати наступне (мал. 4): Мал. 4. Лістинг результатів 1.9.4 Перевірка працездатності програми Покажемо працездатність програми на
прикладі 1 (пункт 1.8.1). Для цього можна самостійно ввести всі необхідні дані
або обрати в меню файл, як зазначалося вище, пункт «тестовий варіант». Як видно
з результатів, отриманих при застосуванні програми (мал. 3), всі формули дають майже
однакове наближення, окрім формули Бесселя (дану формулу краще використовувати
при Мал. 5. Результати обчислень в електронній таблиці Excel Тобто бачимо, що отримані результати дещо відрізняються (на 0,01). Це пов’язано з тим, що в електронній таблиці менша точність обчислень, ніж у програмі. Однак, збільшуючи степінь полінома отримаємо практично однакові результати. Код програми в додатку 1. 1. Ильин В.А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. II.- М.: Наука, 1980, с.50 2. Демидович Б. П., Марон И. А., Основы вычеслительной математики, Наука, 1970. 3. http://miest.narod.ru 4. Копченова Н.В., Марон И.А. – Вычислительная математика в примерах и задачах. «Наука» Москва, 1972г. 5. Турчак Л.И. – Основы численных методов. «Наука» Москва, 1987г. 6. Вержбицкий В. М., Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. «Высшая школа» Москва, 2001 7. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по вычислительной матиматике, изд.-II, «Высшая школа», Москва, 1990 8. Калиткин Н. П., Численные методы. - М.: Наука, 1978 9. Полия Г., Сеге Г. Теория функций (специальная часть).- М., 1978 10. Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы ІІ. Решение уравнений. Курс лекций. Санкт-Петербург, 2001 11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельников Г.М. - Численные методы, М., Наука, 1987 12. Хаусхолдер А. С., Основы численного анализа.-М., 1953 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|